Une existence très rationnelle

Tout d'abord, le théorème:

Théorème : Il existe des couples d'irrationnels a et b tels que est rationnel.

En règle générale il y a deux méthodes pour démontrer un théorème d'existence comme celui-ci :

• Soit on se ramène à un autre théorème d'existence déjà démontré.

• Soit on construit un objet dont l'existence est annoncée.

Ici, nous allons avoir deux candidats solutions. Nous montrerons que l'un des deux vérifie bien la propriété du théorème (et pas l'autre d'ailleurs), mais sans savoir lequel c'est.

Preuve : On sait que est irrationnel. Si est rationnel, on peut prendre .
Si par contre est irrationnel, on peut prendre et . En effet, a et b sont irrationnels et qui est rationnel.

Ce qui est intéressant ici, c'est qu'il est inutile de savoir si est rationnel ou pas. Si c'est le cas, le premier choix pour a et b convient, sinon c'est le deuxième.

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