Arnaud Hirtz
Analyse DEUG 2
Université de Haute Alsace


Exercices sur les séries entières 2

Exercice 1   Soit f (x) = $\displaystyle \sum\limits_{{n=1}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{x^{2n+2}}}{{n(n+1)(2n+1)}}}$  avec x $ \in$ $ \mathbb {R}$ .

  1. Déterminer le rayon de convergence R  de la série entière. La série est-elle convergente en $ \pm$R  ?
  2. Exprimer f  à l'aide des fonctions usuelles.

Exercice 2   Déterminer le rayon de convergence et la somme de

g(x) = $\displaystyle \sum\limits_{{n=0}}^{{+\infty}}$$\displaystyle {\frac{{n^{2}+4n-1}}{{n!}}}$xn.


Exercice 3   Déterminer une série entière solution de

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}[c]{c}% y^{\prime\prime}+xy=x^{2}+x+2\\ y(0)=1~~~~y^{\prime}(0)=1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}[c]{c}% y^{\prime\prime}+xy=x^{2}+x+2\\ y(0)=1~~~~y^{\prime}(0)=1 \end{array}$

Exercice 4   Déterminer une série entière solution de

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}[c]{c}% xy^{\prime\prime}-y=x^{2}+x-1\\ y(0)=1~~~~y^{\prime}(0)=1 \end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}[c]{c}% xy^{\prime\prime}-y=x^{2}+x-1\\ y(0)=1~~~~y^{\prime}(0)=1 \end{array}$

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