Arnaud Hirtz
Analyse DEUG 2
Université de Haute Alsace


Fonctions définies par une intégrale

Exercice 1   On définit F  sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$  par $F(x)=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}} \frac{dt}{1+xt}$ .
  1. Calculer explicitement F(x) .
  2. En déduire la valeur de $\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}} \frac{tdt}{(1+xt)^{2}}$ .

Exercice 2   Soit $F(x)=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{\ln(x^{2}+t^{2})}{1+t^{2}}dt$ .
  1. Montrer que F  est de classe C1  sur $ \mathbb {R}$+ *.
  2. Calculer explicitement la valeur de F$\scriptstyle \prime$(x).
  3. En déduire F(x). (On pourra par exemple chercher la valeur de F(0)  en faisant le changement de variable u = 1/t).

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