Arnaud Hirtz
Analyse DEUG 2
Université de Haute Alsace

Intégrales impropres et généralisées 2

Exercice 1   Pour quelles valeurs de a  l'intégrale $${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{\cos t}{t^{a}}dt$$  converge-t-elle ?

Exercice 2   Déterminer la convergence de $${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \sin(e^{t})dt$$ .

Exercice 3   On définit sur $\mathbb {R}$  les fonctions F  et G  par

$$F(a)=\left( {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{a}} e^{-x^{2}}d... ...4}} \left( 1-e^{\frac{-a^{2}}{\cos^{2}\theta}}\right) d\theta.$$

1. Déterminer G^$\prime$(a)  ; en déduire G(a) = F(a).
2. Calculer $${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} e^{-x^{2}}dx$$.

Exercice 4   Soit $F(x)=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{\cos tx}{1+t^{3}}dt$. Montrer que F  est de classe C¹  sur $\mathbb {R}$.

Exercice 5   Soit $F(x)=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{e^{-t}-e^{-tx}}{t}dt$.

1. Après avoir déterminé le domaine de définition D  de F, montrer que F  est continue sur K.
2. Montrer que F  est dérivable sur K, calculer F^$\prime$  et en déduire une expression simple de F. 

Exercice 6   Soit $F(x)=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{dt}{t^{2}+x^{2}}$. Montrer que F  est continue et dérivable sur ]0, + $\infty$[.

Exercice 7   Soit $f(x)=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} e^{-\frac{t^{2}}{2}}\cos xtdt$.

1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Calculer f^$\prime$.
3. Montrer que f^$\prime$(x) = - xf (x).
4. Donner une expression simple de f (x).

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