Arnaud Hirtz
Analyse DEUG 2
Université de Haute Alsace

Intégrales impropres et généralisées

Exercice 1   Déterminer la nature de $I=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{\sin x}{x}dx$ .

Exercice 2   Déterminer la nature de l'intégrale $I(r)=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{\arctan x}{x^{r}}dx$  selon la valeur du réel r .

Exercice 3   Soit $I=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}} \frac{\ln x}{\sqrt{1-x}}dx.$ 

1. Déterminer la nature de I .
2. Calculer I  en utilisant le changement de variable $\sqrt{1-x}=t$ .

Exercice 4   Déterminer la nature de $I=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}} \frac{\ln x}{x+e^{-x}}dx$ .

Exercice 5   Déterminer la nature de $I=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{+\infty}} \frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x}}dx$ .

Exercice 6  

1. Déterminer la nature de $I=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}} \frac{\sin x}{x^{3/2}}dx$ .
   1. En intégrant par parties, montrer que $J=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}} \frac{\cos x}{\sqrt{x}}dx$  converge.
   2. En déduire la nature de $K=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{1}^{+\infty}} \frac{\cos^{2}x}{\sqrt{x}}dx$ .

Exercice 7   Soit $I=\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}} \frac{\ln x}{1-x}dx$ .

1. Déterminer la nature de I .
2. Montrer que $I=% {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}} \left( {\displaystyle\int\nolimits_{0}... ... +\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}} \frac{x^{n+1}}{1-x}\ln xdx$.
3. Montrer que $\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\displaystyle {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{1}} \frac{x^{n+1}}{1-x}\ln xdx=0$.
4. Calculer I .

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