Arnaud Hirtz
Analyse DEUG 2
Université de Haute Alsace

Exercices sur la convergence de séries numériques 3

Exercice 1   Déterminer la convergence des séries de terme général :

 

Exercice 2   Séries de Bertrand

On s'intéresse ici à la convergence des séries dont le terme général est de la forme  u_n = $${\frac{{1}}{{n^{\alpha}% \ln^{\beta}n}}}$$  avec $\alpha$ > 0 .

1. Montrer que si  0 < $\alpha$ < 1  la série diverge.

2. Montrer que si $\alpha$ > 1  la série converge.

3. Pour la suite on suppose $\alpha$ = 1 .
   1. Etudier la fonction  $\begin{array}[t]{rl}% f:\mathbb{R}_{+}^{\ast} & \rightarrow\mathbb{R}\\ x & \mapsto\displaystyle\frac{1}{x\ln^{\beta}x}% \end{array}$ .
   2. En déduire qu'il existe un entier M  tel que pour tout N  supérieur à M  on a 
      

      $% %TCIMACRO{\dsum \limits_{n=M+1}^{N}}% {\displaystyle\sum\limits_{n=M+1}^{N}} ... ...q {\displaystyle\sum\limits_{n=M}^{N-1}} \displaystyle\frac{1}{n\ln^{\beta}n}M.$

   3. En déduire la nature de la série (on pourra distinguer les cas $\beta$ < 1 , $\beta$ = 1  et $\beta$ > 1 ). 

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