Arnaud Hirtz
Analyse DEUG 2
Université de Haute Alsace

Exercices sur la convergence de séries numériques

Exercice 1   Déterminer la convergence des suites dont le terme général est :

$2^{n}+3^{n}$ , $\qquad2^{n}+(-3)^{n}$ , $\qquad\left( \displaystyle\frac{1}% {2}\right) ^{n}+\left( -\displaystyle\frac{1}{3}\right) ^{n}$ , $\qquad\displaystyle\frac{\sin n}{n}$ , $\qquad\displaystyle\frac{n^{2}% \cos(1/n)}{n+1}$ ,

$\qquad\min\left( 1,\displaystyle\frac{n^{2}% +12}{n^{2}+n+2}\right)$ , $\qquad\max(2,\sin n)$ , $\qquad\sqrt{n+1}-\sqrt{n}%$ , $\qquad\ \displaystyle\frac{n!}{n^{4}}$ ,

$$\frac {n^{2}}{2n+1}\ln\left( 1+\frac{1}{n}\right)$$ , $\qquad\displaystyle\frac {\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n}}$ , $\qquad\left( n-\frac{1}{n^{2}% }\right) ^{3}-n^{3}$ ,

$(n^{2}-n+1)^{1/n}$ , $\qquad\ (2\sin \frac{1}{n}+\frac{3}{4}\cos n)^{n}$ .

Exercice 2   Soient a et b deux réels tels que $a>b>0$ . Déterminer la nature de $u_{n}=\displaystyle\frac{a^{n}-b^{n}}{a^{n}+b^{n}}$ .

Exercice 3   a) Vérifier que pout tout $n>10$ on a $0\leq\displaystyle\frac{1}{n^{2}% }\leq\displaystyle\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ .

b) Pour $n>0$ on pose $u_{n}=% {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}} \displaystyle\frac{1}{k^{2}}$ . Montrer que la suite $(u_{n})$ est convergente et que sa limite L vérifie $$\frac{5}{4}<L<2$$ .

Exercice 4   Pour $n>0$ on pose ${u}_{n}{=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}% }+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\displaystyle\frac{1}{\sqrt {n^{2}+n}}}$ . Grâce à un encadrement, montrer que la suite $(u_{n}% )$ est convergente et donner sa limite.

Exercice 5   Soit x un nombre rationnel. Déterminer la nature de $u_{n}=\cos(n!\pi x)$ .

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